%\documentstyle[farsi]{book}
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\section[�󉪉³‰ƒ‰‘¢ ›‰ú‰‘÷‰ü �¤¦�÷‰µ‰ƒ‰ß, 7991]
{õ‰Æ‰\hamze ‘ó‰‚û‰‘ı ¨‰ü ø û‰È‰µ‰Ş‰ƒ‰ß  �󉪉³‰ƒ‰‘¢ ›‰ú‰‘÷‰ü ¤ş‰‘®‰ü\\* )õ‰‘¤¢ñ •‰… —‰‘, �¤¦�÷‰µ‰ƒ‰ß(, 7991 }
\begin{enumerate}
\item ¢¤ ¬‰Ô‰½‰\hamze ‚ õ‰¿‰µ‰Ê‰‘– ÷‰Ö‰‘¯ “‰‘ õ‰¿‰µ‰Ê‰‘– ¬‰½‰ƒ‰¼ ¤\hamze �¨‰ú‰‘ı  õ‰Â“‰ã‰ú‰‘ı “‰‚ õ‰Æ‰‘Ÿ‰´ ø�Ÿ‰À÷‰À.
�ş‰ß õ‰Â“‰ã‰ú‰‘ “‰‚ ω�¤ ş‰× ¢¤ õ‰ƒ‰‘ö ¨‰ƒ‰‘ù ø ¨‰Ô‰ƒ‰À ª‰Àù�÷‰À )õ‰‘÷‰€‰À ¬‰Ô‰½‰\hamze ‚ ª‰Î‰Â÷‰¸(.


“‰‚�¥�ı û‰Â ¥øš �¥ �ä‰À�¢ ¬‰½‰ƒ‰¼ õ‰·‰±‰´ \InE{}$m$\EnE{} ø \InE{}$n$\EnE{} õ‰·‰Ü‰¶ 쉑�‰İ�ó‰Ã�øş‰‚�ı ¢¤ ÷‰Ñ‰Â õ‰üğ‰ƒ‰Âş‰İ 
 ¤\hamze �¨‰ú‰‘ı �ö ¢�¤�ı õ‰¿‰µ‰Ê‰‘– ¬‰½‰ƒ‰¼
“‰‘ª‰€‰À ø �®‰…á ¥�øş‰\hamze ‚  쉑�‰Ş‰‚ �ö “‰‚ ω�ñ \InE{}$m$\EnE{} ø \InE{}$n$\EnE{} ¢¤ 
�õ‰µ‰À�¢ �®‰…á õ‰Â“‰ã‰ú‰‘ı ¬‰Ô‰½‰‚ ì‰Â�¤ ğ‰Âꉵ‰‚ “‰‘ª‰€‰À.

ê‰Â­ õ‰ü‰ƒ‰İ \InE{}$S_1$\EnE{} õ‰Æ‰‘Ÿ‰´ î‰Û ì‰Æ‰Ş‰µ‰ú‰‘ı ¨‰ƒ‰‘ù �ş‰ß õ‰·‰Ü‰¶ ø \InE{}$S_2$\EnE{} õ‰Æ‰‘Ÿ‰´ î‰Û ì‰Æ‰Ş‰µ‰ú‰‘ı 
¨‰Ô‰ƒ‰À �ö “‰‘ª‰À. ì‰Â�¤ õ‰ü¢û‰ƒ‰İ
$$f(m,n)=|S_1-S_2|$$
�ó‰Ó( \InE{}$f(m,n)$\EnE{} ¤� “‰Â�ı ø쉵‰ü  \InE{}$m$\EnE{} ø \InE{}$n$\EnE{} “‰‘ û‰İ ¥øš ş‰‘ “‰‘ û‰İ ê‰Â¢ “‰‘ª‰€‰À Ÿ‰Æ‰‘’ 
‰ƒ‰À. \\
’( ™‰‘“‰´ ‰ƒ‰À “‰‚�¥�ı û‰Â \InE{}$m$\EnE{} ø \InE{}$n$\EnE{}, 
$$f(m,n)\leq \frac{1}{2}\max\{m,n\}$$
š( ™‰‘“‰´ ‰ƒ‰À  û‰ƒ‰º ä‰À¢ ™‰‘“‰µ‰ü õ‰‘÷‰€‰À \InE{}$C$\EnE{} ø›‰�¢ ÷‰À�¤¢  “‰‚�¥�ı û‰Â \InE{}$m$\EnE{} 
ø \InE{}$n$\EnE{}, \InE{}$f(m,n)<C$\EnE{}. 
\item ¢¤ õ‰·‰Ü‰¶ \InE{}$ABC$\EnE{} ¥�øş‰\hamze ‚  \InE{}$A$\EnE{} î‰��‰Ø‰µ‰Âş‰ß ¥�øş‰\hamze ‚  õ‰·‰Ü‰¶ �¨‰´. ÷‰Ö‰‘¯ \InE{}$B$\EnE{} ø 
\InE{}$C$\EnE{} õ‰½‰ƒ‰Í ¢�ş‰Â\hamze ù  õ‰½‰ƒ‰Î‰ü õ‰·‰Ü‰¶ ¤� “‰‚ ¢ø ‰‘ö —‰Ö‰Æ‰ƒ‰İ õ‰ü‰€‰À. ê‰Â­ ‰ƒ‰À \InE{}$U$\EnE{} 
ş‰× ÷‰Ö‰Î‰‚ �¥ õ‰½‰ƒ‰Í ¢�ş‰Âù ¢¤øö �ö ‰‘ö \InE{}$BC$\EnE{} “‰‘ª‰À  ª‰‘õ‰Û \InE{}$A$\EnE{} ÷‰ƒ‰Æ‰´. 
䉪‰�¢õ‰€‰Ê‰Ô‰ú‰‘ı \InE{}$AB$\EnE{} ø \InE{}$AC$\EnE{} ¡‰Í \InE{}$AU$\EnE{} ¤� “‰‚—‰Â—‰ƒ‰° ¢¤ \InE{}$V$\EnE{} ø \InE{}$W$\EnE{} ì‰Î‰â õ‰ü‰€‰À. 
¡‰Î‰�¯ \InE{}$BV$\EnE{} ø 
\InE{}$CW$\EnE{} ş‰Ø‰Àş‰Ú‰Â ¤� ¢¤ \InE{}$T$\EnE{} ì‰Î‰â õ‰ü‰€‰À. ™‰‘“‰´ ‰ƒ‰À
$$AU=TB+TC$$
\vspace*{-1cm}
\item ê‰Â­ ‰ƒ‰À \InE{}$x_1$\EnE{}, \InE{}$x_2$\EnE{}, \InE{}$\dots$\EnE{} ø \InE{}$x_n$\EnE{}
�ä‰À�¢ Ÿ‰Ö‰ƒ‰Ö‰ü “‰‘ª‰€‰À  ¢¤ ª‰Â�ş‰Í
$$|x_1+x_2+\cdots+x_n|=1$$
ø
$$|x_i|\leq \frac{n+1}{2},\qquad i=1,2,\ldots,n$$
¬‰Àë õ‰ü‰€‰À. ™‰‘“‰´ ‰ƒ‰À ›‰‘ş‰Ú‰È‰µ‰ü �¥ \InE{}$x_1$\EnE{}, \InE{}$x_2$\EnE{}, \InE{}$\dots$\EnE{} ø \InE{}$x_n$\EnE{}
õ‰‘÷‰€‰À \InE{}$y_1$\EnE{}, \InE{}$y_2$\EnE{}, \InE{}$\dots$\EnE{} ø \InE{}$y_n$\EnE{}
ø›‰�¢ ¢�¤¢ 
$$|y_1+2y_2+\cdots+ny_n|\leq \frac{n+1}{2}$$
\vspace*{-0.75cm}
\item õ‰‘—‰Âş‰Æ‰ü  \InE{}$n\times n$\EnE{} ¤�
  ¢¤�ş‰‚û‰‘ı �ö �¥ õ‰¹‰Ş‰�ä‰\hamze ‚ \InE{}$S=\{1,2,\ldots,2n-1\}$\EnE{} 
�÷‰µ‰¿‰‘’ ª‰Àù�÷‰À õ‰‘—‰Âş‰Å ÷‰Ö‰Âù�ı õ‰ü÷‰‘õ‰ƒ‰İ
 �ğ‰Â “‰‚�¥�ı û‰Â \InE{}$i=1,2,\ldots,n$\EnE{}, ¨‰Î‰Â \InE{}$i$\EnE{} �ô 
ø ¨‰µ‰�ö \InE{}$i$\EnE{} �ô ¤øı û‰İ �ä‰Ì‰‘ı  \InE{}$S$\EnE{} ¤� ª‰‘õ‰Û ª‰�÷‰À. 
÷‰È‰‘ö ¢û‰ƒ‰À\\
�ó‰Ó( û‰ƒ‰º õ‰‘—‰Âş‰Å ÷‰Ö‰Âù�ı “‰Â�ı \InE{}$n=1997$\EnE{} ø›‰�¢ ÷‰À�¤¢. \\
’( õ‰‘—‰Âş‰Æ‰ú‰‘ı ÷‰Ö‰Âù�ı “‰‚�¥�ı —‰ã‰À�¢ ÷‰‘õ‰µ‰€‰‘û‰ü �¥ \InE{}$n$\EnE{} ø›‰�¢ ¢�¤¢. 
\item û‰Ş‰‚ ¥ø›‰ú‰‘ı \InE{}$(a,b)$\EnE{} �¥ �ä‰À�¢ ¬‰½‰ƒ‰¼ ¤�
  \InE{}$a\geq 1$\EnE{} ø \InE{}$b\geq 1$\EnE{}  •‰ƒ‰À� ‰ƒ‰À  ¢¤ 
õ‰ã‰‘¢ó‰\hamze ‚  ¥ş‰Â ¬‰Àë ‰€‰À: 
$${a^b}^{2}=b^a$$
\vspace*{-1cm}
\item “‰‚�¥�ı û‰Â ä‰À¢ ω±‰ƒ‰ã‰ü õ‰‘÷‰€‰À \InE{}$n$\EnE{} ê‰Â­ ‰ƒ‰À \InE{}$f(n)$\EnE{} —‰ã‰À�¢ ÷‰Ş‰‘ş‰È‰ú‰‘ı \InE{}$n$\EnE{} “‰‚¬‰�¤– 
õ‰¹‰Ş‰�á  —‰��÷‰ú‰‘ı ¬‰½‰ƒ‰¼ ø ÷‰‘õ‰€‰Ô‰ü �¥ ä‰À¢ 2 “‰‘ª‰À.
÷‰Ş‰‘ş‰È‰ú‰‘ş‰ü  ê‰Ö‰Í �¥ ÷‰Ñ‰Â —‰Â—‰ƒ‰° ÷‰�ª‰µ‰ß �ä‰À�¢ õ‰µ‰Ô‰‘ø–�÷‰À ş‰Ø‰ü “‰‚ Ÿ‰Æ‰‘’ õ‰ü�ş‰€‰À. 
õ‰·‰\nasb … \InE{}$f(4)=4$\EnE{} ¥ş‰Â�  ä‰À¢ 4 ¤� “‰‚ �‰ú‰‘¤ ª‰Ø‰Û “‰‚ ¬‰�¤– õ‰¹‰Ş‰�á —‰��÷‰ú‰‘ı 2 õ‰ü—‰��ö 
÷‰�ª‰´ ş‰ã‰€‰ü 4, 2 + 2, 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 1 + 1. 
™‰‘“‰´ ‰ƒ‰À “‰‚�¥�ı û‰Â ä‰À¢ ¬‰½‰ƒ‰¼ \InE{}$n\geq 3$\EnE{},
$$2^{\frac{n^2}{4}}<f(2^n)<2^{\frac{n^2}{2}}$$
\vspace*{-1cm}
\end{enumerate}
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